체바 정리

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분류
목차
1. 개요2. 선에 관한 체바 정리
2.1. 증명
3. 각에 관한 체바 정리
3.1. 증명
4. 기타5. 관련 항목

1. 개요 [편집]

1678년 이탈리아의 기하학자 조반니 체바(Giovanni Ceva)가 발견한 정리이다. 크게 선에 관한 정리와 각에 관한 정리로 나뉜다.[1]

2. 선에 관한 체바 정리 [편집]

파일:namu_체바.svg
△ABC\triangle \rm ABC에서 BC‾\overline{\rm BC}, CA‾\overline{\rm CA}, AB‾\overline{\rm AB}의 어느 위에 있지 않은 삼각형 내부의 한 점 P\rm P와 A\rm A, B\rm B, C\rm C를 이은 직선이 각각 BC‾\overline{\rm BC}, CA‾\overline{\rm CA}, AB‾\overline{\rm AB}에서 만나는 점을 각각 D\rm D, E\rm E, F\rm F라 할 때, 다음이 성립한다.

BD‾DC‾⋅CE‾EA‾⋅AF‾FB‾=1\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1
또한, 역으로 △ABC\triangle \rm ABC에서 BC‾\overline{\rm BC} 위에 D\rm D, CA‾\overline{\rm CA} 위에 E\rm E, AB‾\overline{\rm AB} 위에 F\rm F를 잡은 후, 각각 A\rm A, B\rm B, C\rm C와 이었을때,

BD‾DC‾⋅CE‾EA‾⋅AF‾FB‾=1\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1

이 성립하면 AD‾\overline{\rm AD}, BE‾\overline{\rm BE}, CF‾\overline{\rm CF}가 한 점 P\rm P에서 만나게 된다.

참고로 말하자면, P\mathbf P가 외부에 있을 때도 동일하게 성립한다. 이 경우, AP‾\overline{\rm AP}, BP‾\overline{\rm BP}, CP‾\overline{\rm CP}가 각각 BC‾\overline{\rm BC}, CA‾\overline{\rm CA}, AB‾\overline{\rm AB}의 연장선상에서 만나는 점을 D\rm D, E\rm E, F\rm F라 하며, 방향을 생각한 길이 표기를 도입하게 된다.[2]
  • AP‾\overline{\rm AP}가 BC‾\overline{\rm BC}를 C\rm C쪽으로 연장한 반직선과 만난다면(그 때 교점을 D\rm D라고 하면) DC‾\overline{\rm DC}는 음수로, BD‾\overline{\rm BD}는 양수로 표시하게 된다.
  • AP‾\overline{\rm AP}가 선분 BC‾\overline{\rm BC}와 만난다면 BD‾\overline{\rm BD}, DC‾\overline{\rm DC} 모두 양수로 측정하게 된다.
  • AP‾\overline{\rm AP}가 BC‾\overline{\rm BC}를 B\rm B 쪽으로 연장한 반직선과 만난다면 반대로 BC‾\overline{\rm BC}는 음수, DC‾\overline{\rm DC}는 양수이다.

2.1. 증명 [편집]

위에서 설명한, 방향이 고려된 길이 표기를 사용하기로 한다. 즉 길이는 음수가 될 수 있다.

△ABC\displaystyle \triangle\rm ABC에서 BC‾\displaystyle \overline{\rm BC} 위에 D\displaystyle \rm D, CA‾\displaystyle \overline{\rm CA} 위에 E\displaystyle \rm E, AB‾\displaystyle \overline{\rm AB} 위에 F\displaystyle \rm F를 잡은 후, AD‾\displaystyle \overline{\rm AD}, BE‾\displaystyle \overline{\rm BE}, CF‾\displaystyle \overline{\rm CF}가 한 점 P\displaystyle \rm P에서 만난다고 하자. 삼각형의 넓이비를 생각하면,

BD‾DC‾=△ABP△ACPCE‾EA‾=△BCP△BAPAF‾FB‾=△CAP△CBP\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}&=\frac{\triangle\rm ABP}{\triangle\rm ACP} \\\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}&=\frac{\triangle\rm BCP}{\triangle\rm BAP} \\ \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}&=\frac{\triangle\rm CAP}{\triangle\rm CBP} \end{aligned}

이것을 모두 곱하면 1이 된다.

역정리를 보이자.

BD‾DC‾⋅CE‾EA‾⋅AF‾FB‾=1\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1

라 가정하자. AD‾\displaystyle \overline{\rm AD}와 BE‾\displaystyle \overline{\rm BE}의 교점을 Q\displaystyle \rm Q라고 하고 CQ‾\displaystyle \overline{\rm CQ}를 연장시켜 AB‾\displaystyle \overline{\rm AB}와의 교점을 F′\displaystyle \rm F'라고 하자. 그럼 원래 체바의 정리에 의해

BD‾DC‾⋅CE‾EA‾⋅AF′‾F′B‾=1\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF'}}{\overline{\rm F'B}}=1

이 성립하는데,

BD‾DC‾⋅CE‾EA‾⋅AF‾FB‾=1\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1

도 성립하므로 결국

AF′‾F′B‾=AF‾FB‾\displaystyle \frac{\overline{\rm AF'}}{\overline{\rm F'B}}=\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}

여야 한다. 따라서, F\displaystyle \rm{F}는 F′\displaystyle \rm{F'}과 같다는 결론을 얻는다.

3. 각에 관한 체바 정리 [편집]

△ABC\triangle \rm ABC에서 AD‾\overline{\rm AD}, BE‾\overline{\rm BE}, CF‾\overline{\rm CF}가 한 점 P\rm P에서 만날 때 다음이 성립한다. 이 경우 외에도 방향이 고려된 각도를 사용하게 된다.[3] 점 P가 외부에 있어도 성립한다.

sin⁡∠CADsin⁡∠BAD⋅sin⁡∠BCFsin⁡∠ACF⋅sin⁡∠ABEsin⁡∠CBE=1\displaystyle \frac{\sin\angle\rm CAD}{\sin\angle\rm BAD}\cdot\frac{\sin\angle\rm BCF}{\sin\angle\rm ACF}\cdot\frac{\sin\angle\rm ABE}{\sin\angle\rm CBE}=1

이것의 역 또한 성립한다.

3.1. 증명 [편집]

AD‾\overline{\rm AD}, BE‾\overline{\rm BE}, CF‾\overline{\rm CF}가 한 점 P\rm P에서 만난다면 △PAB\triangle\rm PAB, △PBC\triangle\rm PBC, △PCA\triangle\rm PCA에서 사인 법칙을 적용하면

PA‾PB‾=sin⁡∠PBAsin⁡∠PAB=sin⁡∠ABEsin⁡∠BADPB‾PC‾=sin⁡∠PCBsin⁡∠PBC=sin⁡∠BCFsin⁡∠CBEPC‾PA‾=sin⁡∠PCAsin⁡∠PAC=sin⁡∠CADsin⁡∠ACF\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm PA}}{\overline{\rm PB}}&=\frac{\sin\angle\rm PBA}{\sin\angle\rm PAB}=\frac{\sin\angle\rm ABE}{\sin\angle\rm BAD} \\ \frac{\overline{\rm PB}}{\overline{\rm PC}}&=\frac{\sin\angle\rm PCB}{\sin\angle\rm PBC}=\frac{\sin\angle\rm BCF}{\sin\angle\rm CBE} \\ \frac{\overline{\rm PC}}{\overline{\rm PA}}&=\frac{\sin\angle\rm PCA}{\sin\angle\rm PAC}=\frac{\sin\angle\rm CAD}{\sin\angle\rm ACF}\end{aligned}

이고, 변변 곱하면 된다.

각에 관한 역정리 증명도 선에 관한 체바 역정리와 같은 방법을 사용할 수 있다.

4. 기타 [편집]

  • 교과 과정에 포함되지는 않았지만 그 심플함과 편리성으로 인해 KMO를 준비한 학생들은 고등학교의 복잡한 기하 문제들을 심히 편히 풀어나갈 수 있도록 도와주기도 한다. 메넬라오스 정리와 함께 조금만 복잡한 삼각형 기하를 푸는 데 필수로 필요한 도구.
  • 이탈리아어에서 유래되었으므로 외래어표기법 상 '체바'로 표기하는 게 옳으며 ‘세바’는 영어권 사람들의 발음법이다. 일본에서는 이를 고려하고 체바 정리로 지은 것. 왜 일본 이야기를 꺼내냐면, 우리나라의 수학 용어 대부분이 일본을 경유하여 들여왔기 때문이다. 대한수학회에서도 '체바 정리'를 밀고 있다.
  • 영어에서는 세바라고 발음한다. 발음 듣기1 발음 듣기2 참고로 교육과정에 들어온다면 '-의 정리'는 채택되지 않을 가능성이 높다. 소유격 조사 '-의'를 모두 빼는 추세이기 때문이다.(그 예로 피타고라스 정리, 아보가드로 법칙, 맥스웰 방정식 등이 있다.)

5. 관련 항목 [편집]

[1] 따로 각 체바 정리라고도 하나 승인되지 않은 용어이며, 일반적인 선에 관한 체바 정리와 대등한 하위 관계에 있다.[2] 그냥 연장선이 변을 지나치는 경우를 양으로 생각하고, 반대방향을 음으로 생각하면 된다. 이는 아주 자연스러운 일이다. [3] 이에 대해서는 각을 참조하여라.

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